DISCONTINUOUS FINITE ELEMENTS
FOR DIFFUSION PROBLEMS

F. BREZZI^1,2, M. MANZINI², D. MARINI^1,2, P. PIETRA², A. RUSSO²

¹Dipartimento di Matematica, Università di Pavia, via Ferrata 1, 27100 Pavia, Italy
²Istituto di Analisi Numerica del CNR, via Abbiategrasso 209, 27100 Pavia, Italy

Sunto. I metodi agli Elementi Finiti Discontinui sono attualmente molto utilizzati come una variante (o un sottoinsieme) dei metodi ai Volumi Finiti, nell'approssimazione di Equazioni Iperboliche, con particolare riferimento alle Leggi di Conservazione. Si vedano a questo proposito i lavori [13,12,10,9,14,11] e le referenze in essi contenute. D'altra parte, il loro utilizzo nell'approssimazione di Equazioni Ellittiche, e in particolare di problemi di diffusione, è allo stesso tempo molto più antico e molto più recente. Infatti, l'uso di metodi di penalizzazione per adattare elementi finiti C⁰ alla discretizzazione di problemi del quarto ordine risale all'inizio degli anni settanta (si vedano per esempio [15,16]). Per problemi del secondo ordine, l'uso di elementi finiti discontinui con penalizzazione risale a pochi anni dopo [2,3], ma è stato in seguito praticamente abbandonato. In tempi recenti, visto il largo utilizzo di elementi finiti discontinui per i problemi iperbolici (come abbiamo già rilevato in precedenza), ci sono stati vari tentativi di applicarli anche alla discretizzazione di problemi in cui è presente un termine diffusivo piccolo ma non trascurabile, come per esempio nelle equazioni di Navier-Stokes con un elevato numero di Reynolds. L'idea è di utilizzare le loro buone proprietà per il trattamento dei termini convettivi, e di ``farli funzionare'' (in un modo o nell'altro) anche per i termini diffusivi. Tra tutti questi tentativi, ha suscitato un notevole interesse il metodo di Bassi e Rebay [5,4,6,7], in cui viene proposto un modo non usuale (ma molto efficace) per trattare i termini diffusivi con elementi finiti discontinui. Lo scopo di questo lavoro è di fornire a questo metodo una solida base matematica, e di indagare i suoi limiti e le sue possibilità.

In particolare, per mettere in evidenza le capacità di questo metodo di trattare i termini diffusivi, in questo lavoro consideriamo come problema modello l'operatore di Laplace in un dominio poligonale. La formulazione originale di Bassi e Rebay [5,4,6] viene riscritta in un modo nuovo e più elegante, maggiormente adatto ad una indagine di tipo matematico. Mostriamo che la formulazione originale può essere singolare per un problema stazionario (e questo naturalmente non incoraggia ad utilizzarla neanche per problemi dipendenti dal tempo). Inoltre, dimostriamo che la variante proposta in [7] è stabile e che l'errore di discretizzazione è ottimale, a meno di una piccola modifica nella scelta di un parametro. In realtà, allo stato attuale non è ancora chiaro se per il valore del parametro proposto in [7] (semplicemente uguale a 1) lo schema è instabile oppure no. Quello che noi dimostriamo è la stabilità (e la convergenza) del metodo se questo valore è strettamente maggiore di 3. Più precisamente, detta u la soluzione esatta e u_h la soluzione approssimata, dimostriamo che valgono le seguenti stime dell'errore:

• $\vert\kern-2pt\vert\kern-2pt\vert u-u_h\vert\kern-2pt\vert\kern-2pt\vert\leq C\,{h}^k {\vert u\vert}_{k+1,\Omega}$,
• ${\vert\kern-2pt\vert u-u_h\vert\kern-2pt\vert}_{0,\Omega}\leq C\,h^{k+1}{\vert u\vert}_{k+1,\Omega}$,

dove ${\vert\kern-2pt\vert\cdot\vert\kern-2pt\vert}_{0,\Omega}$ è la usuale norma L² e $\vert\kern-2pt\vert\kern-2pt\vert\cdot\vert\kern-2pt\vert\kern-2pt\vert$ è una norma che dipende dalla triangolazione e che tiene conto della norma L² dei gradienti ma anche dei salti tra un elemento e l'altro.

Il lavoro è strutturato nel modo seguente. Dopo l'Introduzione, nella Sezione 2 viene presentato il problema modello e la formulazione originale di [5,4,6]. Nella Sezione 3 mostriamo con un controesempio l'instabilità della formulazione originale e nella Sezione 4 descriviamo, dal nostro punto di vista, la stabilizzazione di [7]. La Sezione 5 infine contiene le dimostrazioni di stabilità e di convergenza.