Anno Accademico 2008-2009
Informazioni generali sul corso di MODELLI E METODI MATEMATICI I
Docente: Ugo Gianazza
Dipartimento di Matematica `F. Casorati'
via Ferrata 1
I 27100 Pavia PV
tel.: 0382 985653
e-mail: gianazza@imati.cnr.it
PROGRAMMA DEL CORSO
1. Conoscenze di base da richiamare ed approfondire. Spazi vettoriali e matrici - Autovalori ed autovettori.
2. Equazioni differenziali ordinarie. Definizione generale di equazione e sistema differenziale in forma normale - Teoremi di esistenza ed unicità in piccolo e in grande - Teorema di prolungamento - Sistemi ed equazioni differenziali lineari: struttura della soluzione, metodo della variazione delle costanti arbitrarie, Teorema di Liouville (*) - Sistemi ed equazioni per cui la matrice di transizione si scrive esplicitamente: coefficienti costanti, Eulero. Introduzione ai Problemi ai limiti per equazioni lineari del secondo ordine.
3. Introduzione ai problemi in cui le incognite sono funzioni. Spazi funzionali vettoriali - Spazi normati - Spazi di Hilbert - Teorema delle proiezione, problema della migliore approssimazione e minimi quadrati - Basi ortonormali negli spazi di Hilbert - Lo spazio L2 e le serie di Fourier.
4. Introduzione alle equazioni alle derivate parziali. Esempi di alcuni fenomeni modellizzati da equazioni alle derivate parziali - Classificazione delle equazioni del secondo ordine - Riduzione alla forma canonica - Principali proprietà delle equazioni ellittiche, paraboliche ed iperboliche - Problemi ai limiti - Condizioni al contorno - Soluzioni particolari - Separazione di variabili - Uso delle Trasformate di Fourier e di Laplace - Introduzione alle equazioni del primo ordine quasilineari.
5. Metodi hilbertiani per la risoluzione di problemi ai limiti. Operatori lineari - Limitatezza e continuità - Operatori aggiunti, simmetrici ed autoaggiunti - Problemi di autovalori - Principali proprietà degli operatori simmetrici - Sviluppo in serie di autovettori delle soluzioni di equazioni alle derivate parziali in semplici geometrie.
RICEVIMENTO STUDENTI
Giovedì 14:00 - 16:00 e su appuntamento.
MODALITÀ D'ESAME
Vi sono due modalità per il superamento dell'esame: due prove in itinere oppure esame durante uno degli appelli regolari.
Prove in itinere: la prima prova si svolgerà il 24 novembre secondo l'orario indicato dalla presidenza, la seconda prova si terrà il 2 febbraio, sempre secondo l'orario indicato dalla presidenza. Entrambe le prove avranno la durata di due ore. La prima prova verterà sugli argomenti affrontati fino all'ultima lezione della settimana precedente, mentre la prova finale coprirà il resto del programma. Durante la prova scritta è ammessa la consultazione dei testi e degli appunti. Alla conclusione della prova lo studente deve consegnare il testo con le risposte agli esercizi ed anche la brutta, che sarà utilizzata ai fini della valutazione. Lo studente che otterrà dalla media delle due prove un voto maggiore o uguale a 18/30 (con almeno 15/30 in ogni prova) potrà sostenere l'orale. In caso contrario dovrà ripetere l'esame in uno degli appelli regolari.
Esame durante uno degli appelli regolari: l'esame consiste di una prova scritta della durata di tre ore. Come nel caso delle prove in itinere, durante la prova scritta è ammessa la consultazione dei testi e degli appunti. Alla conclusione della prova lo studente deve consegnare il testo con le risposte agli esercizi ed anche la brutta, che sarà utilizzata ai fini della valutazione. Dopo la conclusione dello scritto verrà esposto l'elenco con i risultati e gli studenti che avranno conseguito una votazione maggiore o uguale a 18/30 potranno sostenere l'orale. La mancata presentazione alla prova orale comporta la perdita di validità della prova scritta, che può comunque essere ripetuta nell'appello successivo.
Gli appelli regolari si svolgeranno secondo il seguente calendario:
1) due appelli al termine del I Semestre;
2) un appello al termine del II Semestre;
3) un appello durante il mese di settembre.
DATE DELLE PROVE IN ITINERE E DEGLI APPELLI REGOLARI
1) I prova in itinere: novembre 2008;
2) II prova in itinere: febbraio 2009, ore in aula ;
3) I appello regolare: febbraio 2009, ore in aula ;
4) II appello regolare: febbraio 2009, ore in aula ;
5) appello di luglio: luglio 2009;
6) appello di settembre: settembre 2009.
TESTO CONSIGLIATO
1) Dispense del docente