Metodi Numerici per l'Ingegneria (Laurea Specialistica e Magistrale)
le relazioni di laboratorio vanno consegnate entro martedì 11 gennaio 2011.
Il corso è articolato in due parti, strettamente correlate:
1) lezioni sulla parte teorica (per gli argomenti trattati v. "Programma del
Corso");
2) esercitazioni al computer e verifica numerica dei risultati teorici
illustrati durante le lezioni.
Entrambe le parti sono fondamentali.
Prima della fine del corso gli studenti dovranno presentare una
relazione scritta in cui illustreranno, motivandoli, i risultati conseguiti
durante le esercitazioni. La valutazione di tali relazioni concorrerà alla determinazione del voto finale (v. "Modalità d'esame").
Programma del corso (fino all'a.a. 2006/2007)
- Richiami di Algebra lineare:
- norme di vettori e matrici, prodotto scalare,
autovalori e autovettori, matrici definite positive, a dominanza diagonale,
triangolari, tridiagonali.
- Risoluzione di sistemi lineari con metodi diretti:
- Analisi di stabilità : studio del condizionamento di una matrice.
- Il metodo di eliminazione di Gauss e la fattorizzazione LU.
- Aspetti implementativi della fattorizzazione LU e analisi dei costi.
- Matrici simmetriche e definite positive: fattorizzazione di Cholesky.
- Fattorizzazione per matrici tridiagonali.
- (Matrici rettangolari: fattorizzazione QR, metodo di Householder).
- Risoluzione di sistemi lineari con metodi iterativi:
- Metodi iterativi di splitting: i metodi di Jacobi, di Gauss-Seidel
e di rilassamento.
- Risultati di convergenza e aspetti implementativi.
- Metodi iterativi di discesa: il metodo del gradiente e del gradiente
coniugato. Analisi di convergenza.
- Criteri di arresto: sul controllo dell'incremento e/o del residuo.
- (Precondizionamento di matrici mal condizionate: il metodo del gradiente
coniugato precondizionato).
- Approssimazione di autovalori e autovettori:
- Il metodo delle potenze: calcolo dell'autovalore di modulo massimo e minimo.
Analisi di convergenza e dei costi.
- Cenni sui metodi di shifting
- Ricerca di radici di equazioni e sistemi non lineari:
- Equazioni non lineari: metodi di bisezione, delle corde, delle secanti e di Newton. Convergenza e ordini di convergenza.
- Il metodo delle iterazioni di punto fisso e risultati di convergenza.
- Criteri di arresto.
- Sistemi non lineari: il metodo di Newton e le sue varianti.
-
Approssimazione polinomiale di funzioni e dati:
- Interpolazione di Lagrange: errore di interpolazione e limiti
dell'interpolazione polinomiale su nodi equispaziati.
- Interpolazione di Hermite e cenni sulle funzioni splines.
- Interpolazione composita di Lagrange.
-
Integrazione numerica:
- Formule di quadratura interpolatorie: formula del punto medio, dei
trapezi, di Cavalieri-Simpson e studio dell'errore.
- Formule di Newton-Cotes semplici e composite. Algoritmi di integrazione
adattivi.
- Formule gaussiane. Introduzione dei polinomi di Legendre.
- Estensione a 2 dimensioni su domini rettangolari. Formule del baricentro,
dei vertici e dei punti medi dei lati per domini triangolari.
- Approssimazione di funzioni e dati:
- Approssimazione di funzioni nel senso dei minimi quadrati: i polinomi di
Legendre e i polinomi trigonometrici di Fourier. (Sviluppi in serie di
Fourier, esempi e applicazioni. Cenni sulla FFT.)
- Il metodo dei minimi quadrati per il data fitting: retta di regressione
e vari altri esempi.
- Risoluzione numerica di equazioni differenziali ordinarie:
- Problemi di Cauchy.
- Metodi a un passo: i metodi di Eulero esplicito, di Eulero implicito, dei
trapezi, di Heun.
Stabilità e A-stabilità, consistenza, convergenza e ordini
di convergenza.
- Metodi multistep: i metodi di Adams espliciti e impliciti.
- Metodi predictor-corrector.
- Metodi di Runge-Kutta: derivazione di un metodo di RK esplicito.
- Sistemi di equazioni differenziali ordinarie: i problemi stiff.
Testo di riferimento:
A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri: Matematica Numerica, Springer Verlag Italia, 2002.
A partire dall'a.a 2007-2008 il corso si è articolato su due argomenti principali: approssimazione numerica, con il metodo agli elementi finiti, di problemi ai limiti per equazioni alle derivate parziali di interesse applicativo, e approssimazione numerica di equazioni differenziali ai valori iniziali (Problemi di Cauchy). Gli appunti relativi alla prima parte sono acclusi di seguito. Per il programma completo si rinvia alla scheda del corso sulla mia pagina docente della Facoltà.
Per gli studenti che hanno seguito il corso in anni precedenti il programma d'esame resta invariato, cioè l'orale verterà sugli argomenti svolti nell'anno di frequenza. Resta pure valido il giudizio ottenuto nella relazione di laboratorio.
L'esame consiste nello svolgimento di una prova scritta, seguita da un breve discussione, contenente due domande scelte fra tutti gli argomenti
trattati durante il corso. Per accedere all'esame lo studente
dovrà partecipare attivamente alle esercitazioni di Laboratorio e conseguire una valutazione sufficiente nella relazione svolta. Tale relazione va consegnata entro i termini che saranno stabiliti dal docente durante il corso.
NB: In assenza della relazione, il voto massimo ottenibile sarà 24/30.