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DISCONTINUOUS FINITE ELEMENTS
FOR DIFFUSION PROBLEMS
F. BREZZI1,2, M. MANZINI2, D. MARINI1,2,
P. PIETRA2, A. RUSSO2
1Dipartimento di Matematica,
Università di Pavia,
via Ferrata 1,
27100 Pavia, Italy
2Istituto di Analisi Numerica del CNR,
via Abbiategrasso 209,
27100 Pavia, Italy
Sunto.
I metodi agli Elementi Finiti Discontinui sono attualmente molto
utilizzati come una variante (o un sottoinsieme) dei metodi ai Volumi
Finiti, nell'approssimazione di Equazioni Iperboliche, con particolare
riferimento alle Leggi di Conservazione. Si vedano a questo proposito
i lavori
[13,12,10,9,14,11]
e le referenze in essi contenute. D'altra parte, il loro utilizzo
nell'approssimazione di Equazioni Ellittiche, e in particolare
di problemi di diffusione, è allo stesso tempo molto più antico
e molto più recente. Infatti, l'uso di metodi di penalizzazione
per adattare elementi finiti C0 alla discretizzazione di
problemi del quarto ordine risale all'inizio degli anni settanta
(si vedano per esempio [15,16]).
Per problemi del secondo ordine,
l'uso di elementi finiti discontinui con penalizzazione risale
a pochi anni dopo [2,3], ma è stato in seguito
praticamente abbandonato. In tempi recenti, visto il largo utilizzo
di elementi finiti discontinui per i problemi iperbolici (come abbiamo
già rilevato in precedenza), ci sono stati vari tentativi di applicarli
anche alla discretizzazione di problemi in cui è presente
un termine diffusivo piccolo ma non trascurabile, come per esempio
nelle equazioni di Navier-Stokes con un elevato numero di Reynolds.
L'idea è di utilizzare le loro buone proprietà per il trattamento
dei termini convettivi, e di ``farli funzionare'' (in un modo
o nell'altro) anche per i termini diffusivi. Tra tutti questi
tentativi, ha suscitato un notevole interesse il metodo di
Bassi e Rebay [5,4,6,7], in cui
viene proposto un modo non usuale (ma molto efficace) per
trattare i termini diffusivi con elementi finiti discontinui.
Lo scopo di questo lavoro è di fornire a questo metodo
una solida base matematica, e di indagare i suoi limiti e le sue
possibilità.
In particolare, per mettere in evidenza le capacità di questo metodo
di trattare i termini diffusivi, in questo lavoro consideriamo
come problema modello l'operatore di Laplace in un dominio poligonale.
La formulazione originale di Bassi e Rebay [5,4,6]
viene riscritta in un modo nuovo e più elegante, maggiormente adatto
ad una indagine di tipo matematico. Mostriamo che la formulazione
originale può essere singolare per un problema stazionario
(e questo naturalmente non incoraggia ad utilizzarla neanche
per problemi dipendenti dal tempo). Inoltre, dimostriamo
che la variante proposta in [7] è stabile e che
l'errore di discretizzazione è ottimale, a meno di una piccola
modifica nella scelta di un parametro. In realtà, allo stato attuale
non è ancora chiaro se per il valore del parametro proposto
in [7] (semplicemente uguale a 1) lo schema è
instabile oppure no. Quello che noi dimostriamo è la stabilità
(e la convergenza) del metodo se questo valore è strettamente maggiore
di 3.
Più precisamente, detta u la soluzione esatta e uh la
soluzione approssimata, dimostriamo che valgono le seguenti
stime dell'errore:
-
,
-
,
dove
è la usuale norma L2 e
è una norma che dipende dalla triangolazione
e che tiene conto della norma L2 dei gradienti ma anche dei salti tra un
elemento e l'altro.
Il lavoro è strutturato nel modo seguente. Dopo l'Introduzione,
nella Sezione 2 viene presentato il problema modello e la formulazione
originale di [5,4,6]. Nella Sezione 3
mostriamo con un controesempio l'instabilità della formulazione originale
e nella Sezione 4 descriviamo, dal nostro punto di vista,
la stabilizzazione di [7].
La Sezione 5 infine contiene le dimostrazioni di stabilità e di convergenza.
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Alessandro Russo
1998-05-13