Analisi Matematica (2017/2018)

II semestre - Tutore: Roberto Bentivoglio; Data di inizio: 20 marzo 2018; Data di conclusione: da definire; Orario ed aula: martedì dalle 16 alle 18 in aula A2.

Ugo Gianazza: mercoledì dalle 14 alle 16 durante lo svolgimento del corso; solo su appuntamento nella restante parte dell'anno accademico.

Potete seguire lo svolgimento complessivo del corso svolto attraverso questo calendario

Gli esami dell'anno accademico '17-'18 saranno strutturati nel modo seguente:
- L'esame consiste di una prova scritta della durata di tre ore, seguita da una prova orale facoltativa. Dopo la conclusione dello scritto sarà comunicato l'elenco con i risultati e gli Studenti che avranno conseguito una votazione maggiore o uguale a 18/30 potranno decidere se registrare il voto dello scritto, oppure presentarsi alla prova orale. Qualora l'esame orale dia esito negativo, lo Studente deve presentarsi ad un appello successivo. Il ritiro, durante una qualunque prova d'esame, equivale al non superamento dell'esame stesso. Durante le prove d'esame, non è consentito l'uso né di libri, né di appunti, né di calcolatrici tascabili, né di telefoni cellulari. L'unico materiale didattico ammesso sono le tabelle degli integrali particolari delle equazioni lineari.
- L'iscrizione agli scritti è obbligatoria, e va effettuata on-line.

1. Numeri reali - Definizioni di: maggiorante, minorante, massimo, minimo, estremo superiore e estremo inferiore di un insieme di numeri reali.

2. Numeri complessi - Forma algebrica, forma trigonometrica o polare; operazioni sui numeri complessi (somme, prodotti, quozienti, potenze, complesso coniugato).

3. Successioni a termini reali - Definizioni di: successione; successione convergente o divergente o indeterminata; successione monotona. Principali teoremi sui limiti di successioni: confronto, prodotto di una successione infinitesima per una successione limitata, permanenza del segno.

4. Funzioni reali di una variabile reale - Definizioni di: funzione; funzione limitata; funzione monotona (nei vari casi); funzione pari, funzione dispari; funzione periodica; funzione composta; funzione iniettiva e funzione inversa. Le principali funzioni elementari (potenze, esponenziali, logaritmi, funzioni trigonometriche e loro inverse, funzioni iperboliche e loro inverse) e i loro grafici.

5. Limiti e continuità - Definizioni di: limiti di funzioni (nei vari casi); funzione continua in un punto; limiti destri e limiti sinistri. Punti di discontinuità e loro classificazione.

6. Derivate - Definizioni di: funzione derivabile in un punto; retta tangente alla curva-grafico di una funzione in un suo punto; derivate di ordine superiore. Punti di estremo e punti critici di una funzione.

7. Integrali - Definizioni di: integrale definito; primitiva e integrale indefinito; funzione integrale; integrale generalizzato o improprio (nei vari casi).

1. Serie - Serie numeriche: definizione; prime proprietà ed esempi; serie a termini positivi (criteri di convergenza); convergenza assoluta e convergenza semplice. Criterio di Leibinz per serie a termini alterni. Cenni sulle serie di potenze in campo reale. Polinomi di Taylor e formule di Taylor. Serie di Taylor; serie di Taylor di alcune funzioni elementari.

2. Equazioni differenziali - Breve introduzione alle equazioni differenziali ordinarie; il problema di Cauchy. Equazioni differenziali lineari del primo ordine. Equazioni a variabili separabili ed equazioni omogenee. Equazioni differenziali lineari di ordine $N$ a coefficienti costanti: equazioni omogenee ed equazioni complete; uso delle tabelle per determinare le soluzioni particolari; metodo della variazione delle costanti arbitarie. Problema ai limiti omogeneo: autovalori ed autosoluzioni. Problema ai limiti completo.

3. Calcolo differenziale in più variabili reali - Funzioni reali di più variabili reali: rappresentazione grafica; limiti e continuità. Derivate parziali, gradienti e derivate direzionali. Derivate di ordine superiore. Differenziabilità. Derivazione parziale di funzioni composte. Cenni di calcolo differenziale per funzioni a valori vettoriali. Matrici jacobiane. Estremi relativi liberi di funzioni a valori reali: punti stazionari e loro classificazione.

4. Integrali multipli - Integrali doppi: definizione e proprietà principali; applicazioni alla Geometria e alla Fisica. Calcolo degli integrali doppi: formule di riduzione; cambiamento di variabili; integrali doppi in coordinate polari. Integrali tripli; cenni alle coordinate cilindriche e sferiche.

5. Integrali di linea ed integrali di superficie - Curve in forma parametrica: definizione; retta tangente; curve rettificabili e lunghezza d'arco. Superfici in forma parametrica: prodotto vettoriale fondamentale $r_u\wedge r_v$ e piano tangente; area di una superficie. Integrali di linea rispetto alla lunghezza d'arco. Integrali di linea di campi vettoriali e applicazioni alla Fisica. Campi conservativi, potenziale e indipendenza dal percorso. Gli operatori rotore e divergenza. Integrali di superficie e applicazioni alla Fisica. I teoremi di Green e della divergenza nel piano. I teoremi di Stokes e della divergenza nello spazio.

Tabella degli integrali particolari per le equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti pdf.