Analisi Matematica 2 (2015/2016)

Corso di Laurea in Ingegneria Edile-Architettura

Docente

Ugo Gianazza
Marco Veneroni

Tutorato

Mercoledì dalle 9 alle 11 in Aula 7
Data di inizio: 14 ottobre 2015.
Data di conclusione: gennaio 2016.

Orario di ricevimento

Giovedì dalle 16 alle 18 e su appuntamento durante lo svolgimento del corso; solo su appuntamento nella restante parte dell'anno accademico.

Testi consigliati

M. Bramanti, C.D. Pagani e S. Salsa, Analisi matematica 2, Zanichelli
N. Fusco, P. Marcellini e C. Sbordone, Analisi matematica 2, Liguori

Calendario del corso

Potete seguire lo svolgimento complessivo del corso svolto attraverso questo calendario
Potete seguire lo svolgimento del corso svolto dal prof. Veneroni attraverso questo calendario

Programma del Corso

1. Successioni e serie di funzioni - Richiami sulla nozione di convergenza di una serie numerica. Serie di potenze. Teorema fondamentale sulla convergenza di una serie di potenze. Raggio di convergenza. Criteri della radice e del rapporto per il calcolo di $R$. Integrazione e derivazione per serie. Serie di Taylor e di Mc Laurin. Condizione necessaria per la sviluppabilità in serie. Condizione sufficiente per la sviluppabilità in serie. Sviluppi in serie delle funzioni $e^x$, $\sin x$, $\cos x$, $\sinh x$, $\cosh x$, $\ln(1 + x)$, $\frac1{1-x}$ (a memoria!). Formula di Eulero.

2. Funzioni continue di N variabili - Cenni di topologia in ${\mathbb R}^N$: punto interno, esterno, di frontiera, di accumulazione, isolato. Insiemi aperti e chiusi. Insiemi limitati. Insiemi compatti. Insiemi convessi e connessi. Limiti e continuità per funzioni $f: {\mathbb R}^N\to{\mathbb R}^M$. Teorema di Weierstrass. Teorema dei valori intermedi.

3. Calcolo differenziale ed applicazioni - Definizione di derivata parziale, gradiente. Definizione di derivata direzionale. Piano tangente. Definizione di funzione differenziabile. C.N. per la differenziabilità (con dimostrazione). C.S. per la differenziabilità. Derivate di ordine superiore al primo. Teorema di Schwarz. Polinomio di Taylor. Resto nella forma di Peano e nella forma di Lagrange. Teorema di derivazione di funzione composta. Domini e funzioni convesse. Legame fra convessità e derivate del primo ordine (con parte della dimostrazione). Legame fra convessità e derivate del secondo ordine (con parte della dimostrazione). Teorema del valor medio e Teorema del gradiente nullo. Definizione di punto di estremo relativo/assoluto. C.N. perché un punto interno regolare sia di estremo relativo. Classificazione dei punti critici: punto di minimo relativo, punto di massimo relativo, punto di sella. Classificazione delle forme quadratiche: f.q. definita positiva, definita negativa, indefinita, semidefinita positiva, semidefinita negativa. C.S. per avere punti di estremi relativi: criterio della matrice Hessiana (con dimostrazione). Analisi della matrice Hessiana in ${\mathbb R}^N$ e il caso particolare di ${\mathbb R}^2$. Funzioni a valori vettoriali: limiti, derivabilità, matrice jacobiana. Differenziabilità di una funzione a valori vettoriali. Funzione composta: derivabilità.

4. Varietà regolari - Definizione di varietà regolari. Caso delle curve: prime proprietà. Retta tangente a una curva. Versore tangente ad una curva. Curve piane in coordinate cartesiane e polari. Caso delle superfici. Definizione di superficie parametrica. Superfici regolari. Prodotto vettoriale fondamentale $P_u\wedge P_v$. Piano tangente ad una superficie, versore normale. Superfici orientabili.

5. Forme differenziali lineari e Campi vettoriali conservativi - Forme differenziali lineari. Integrali curvilinei di campi vettoriali o di forme differenziali lineari. Forme differenziali lineari esatte e campi conservativi. Forme differenziali lineari chiuse e campi irrotazionali. Integrali curvilinei di campi conservativi: teorema fondamentale. Teorema di caratterizzazione dei campi conservativi. Condizione necessaria affinché un campo di classe $C^1$ sia conservativo (con dimostrazione). Insiemi stellati e semplicemente connessi. Condizioni sufficienti affinché un campo sia conservativo (con dimostrazione nel caso stellato per $N=3$). Calcolo della primitiva (o potenziale).

6. Funzioni implicite - Teorema di Dini: caso $F(x,y)=0$; esistenza e continuità della funzione implicita. Derivabilità della funzione implicita (con dimostrazione). Retta tangente ad una curva. Estensione a più variabili. Piano tangente ad una superficie. Teorema di Dini per sistemi. Teorema della funzione inversa. Coincidenza locale di grafici, varietà regolari ed insiemi di livello. Estremi vincolati e metodo dei moltiplicatori di Lagrange: C.N. (con dimostrazione) e C.S. relativa agli spostamenti tangenziali nel caso di vincolo scalare.

7. Equazioni e sistemi differenziali ordinari - Equazioni differenziali: in forma normale, lineari; ordine dell'equazione differenziale. Definizione di soluzione. Integrale generale e integrale particolare. Integrale generale per l'equazione lineare $y'(x) = \varphi(x)y(x) + \psi(x)$. Integrale generale per l'equazione di Bernoulli. Integrale generale per l'equazione a variabili separabili $y'(x) = X(x)Y(y(x))$. Integrale generale per l'equazione omogenea $y'(x) = f(y(x)/x)$. Il problema di Cauchy per sistemi ed equazioni differenziali in forma normale. Teorema di Peano di esistenza in piccolo. Teorema di esistenza ed unicità in piccolo. Teorema di esistenza ed unicità in grande. Teorema di regolarità. Teorema di prolungamento. Sistemi ed equazioni differenziale lineare di ordine $N$ a coefficienti continui: struttura dell'integrale generale (con dimostrazione). Teorema di Liouville (con dimostrazione). Determinazione di un integrale particolare con il metodo di variazione delle costanti arbitrarie (con dimostrazione). Sistemi ed equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti: matrice esponenziale e determinazione di $N$ vettori soluzione linearmente indipendenti (con dimostrazione). Il problema ai limiti completo ed omogeneo.

8. Integrali multipli - Definizione di rettangolo, plurirettangolo, misura esterna di un insieme. Insiemi di misura esterna nulla e nozione di quasi ovunque. Funzioni costanti a tratti e loro integrale. Definizione di integrale per una funzione in ${\mathbb R}^N$. Funzioni ed insiemi misurabili. Nozione di misura per un insieme di ${\mathbb R}^N$. Definizione di integrale per una funzione misurabile su un insieme misurabile. Legame fra la nuova nozione di integrale e l'integrale di Riemann per funzioni di una variabile. Teorema di Fubini di riduzione degli integrali multipli. Domini piani normali rispetto a $x$ e normali rispetto a $y$. Integrazione per fili e per strati. Cambiamento di variabili. Applicazione alle coordinate polari nel piano, cilindriche e sferiche nello spazio.

9. Integrali su varietà - Definizione di arco. Lunghezza di un arco. Curve ed archi regolari a tratti. Ascissa curvilinea. Integrali curvilinei di funzioni scalari: proprietà. Area di una superficie. Integrale di superficie. Formule di Green per il calcolo dell'area di un insieme piano \[ m(\Omega)=\int_{\partial\Omega}x\,dy=-\int_{\partial\Omega}y\,dx=\frac12\int_{\partial\Omega}x\,dy-y\,dx. \] Teorema della divergenza in ${\mathbb R}^N$ ($N=2,3$) $\displaystyle \int_{\Omega}\hbox{div}\,\underline{f}\,dx=\int_{\partial\Omega}\langle\underline{f},\underline{n}_e\rangle\,\,d\sigma_{\scriptscriptstyle N-1}$. Teorema di Stokes in ${\mathbb R}^2$ e in ${\mathbb R}^3$: $\displaystyle\int_{\Omega}\langle\hbox{rot}\,\underline{g},\underline{k}\rangle\,dx\,dy=\int_{\partial\Omega}\langle\underline{g},\underline{\tau}\rangle\,\,d\sigma_{\scriptscriptstyle1}$, $\displaystyle\int_{\Sigma}\langle\hbox{rot}\,\underline{g},\underline{n}\rangle\,d\sigma_{\scriptscriptstyle2}=\int_{\partial\Sigma}\langle\underline{g},\underline{\tau}\rangle\,\,\ d\sigma_{\scriptscriptstyle1}$.

Informazioni

L'esame consiste di una prova scritta della durata di tre ore, seguita da una prova orale. Dopo la conclusione dello scritto sarà esposto l'elenco con i risultati e gli Studenti che avranno conseguito una votazione maggiore o uguale a 18/30 saranno ammessi alla prova orale. La mancata presentazione all'orale comporta la perdita di validità della prova scritta, che può comunque essere ripetuta nell'appello successivo. Qualora l'esame orale dia esito negativo, lo Studente deve presentarsi ad un appello successivo per sostenere sia la prova scritta, sia quella orale. Le iscrizioni alle prove scritte vanno effettuate online sul sito di Ateneo nei termini indicati dallo stesso. Il ritiro, durante una qualunque prova d'esame, equivale al non superamento dell'esame stesso. Durante le prove d'esame, non è consentito l'uso né di libri, né di appunti, né di calcolatrici tascabili, né di telefoni cellulari. L'unico materiale didattico ammesso sono le tabelle degli integrali particolari delle equazioni lineari.

Calendario delle prove d'esame

27 gennaio 2016, ore 9.00, aula EF1
24 febbraio 2016, ore 14.00, aula EF1-EF2
5 aprile 2016, ore 9.00, aula E7 (appello riservato agli studenti che hanno già frequentato il V anno)
20 giugno 2016, ore 14.0, aula EF1
19 luglio 2016
1 settembre 2016
15 settembre 2016

Temi d'esame

Appello del 26 gennaio 2012 pdf e testo della soluzione pdf.
Appello del 14 febbraio 2012 pdf e testo della soluzione pdf.
Appello del 20 giugno 2012 pdf e testo della soluzione pdf.
Appello del 7 settembre 2012 pdf e testo della soluzione pdf.
Appello del 23 gennaio 2013 pdf e testo della soluzione pdf.
Appello del 20 febbraio 2013 pdf e testo della soluzione pdf.
Appello del 22 marzo 2013 pdf e testo della soluzione pdf.
Appello del 20 giugno 2013 pdf e testo della soluzione pdf.
Appello del 5 settembre 2013 pdf e testo della soluzione pdf.
Appello del 29 gennaio 2014 pdf e testo della soluzione pdf.
Appello del 25 febbraio 2014 pdf e testo della soluzione pdf.
Appello straordinario del 28 marzo 2014 pdf e testo della soluzione pdf.
Appello del 19 giugno 2014 pdf e testo della soluzione pdf.
Appello del 4 settembre 2014 pdf.
Appello del 18 settembre 2014 pdf.
Appello del 28 gennaio 2015 pdf e testo della soluzione pdf.
Appello del 25 febbraio 2015 pdf e testo della soluzione pdf.
Appello straordinario del 31 marzo 2015 pdf e testo della soluzione pdf.
Appello del 22 giugno 2015 pdf e testo della soluzione pdf.
Appello del 21 luglio 2015 pdf e testo della soluzione pdf.
Appello del 3 settembre 2015 pdf.
Appello del 17 settembre 2015 pdf.
Appello del 27 gennaio 2016 pdf.
Appello del 24 febbraio 2016 pdf.
Appello del 5 aprile 2016 pdf.
Appello del 20 giugno 2016 pdf e testo della soluzione pdf.
Appello del 19 luglio 2016 pdf e testo della soluzione pdf.
Appello del 1 settembre 2016 pdf.
Appello del 15 settembre 2016 pdf.

Alcuni esercizi

Esercizi sul Teorema di Dini pdf;
Esercizi sul Metodo dei Moltiplicatori di Lagrange pdf;
Esercizi su Equazioni Differenziali del Primo Ordine pdf;
Esercizi su Sistemi Differenziali Lineari a Coefficienti Costanti pdf;
Esercizi su Equazioni Differenziali Lineari a Coefficienti Costanti pdf.

Altro materiale

Tabella degli integrali particolari per le equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti pdf.