Complementi di Analisi Matematica (2020/2021)
Corso di Laurea Magistrale in Ingegneria Civile
Docente
Testi consigliati
- M. Bramanti, C.D. Pagani, S. Salsa, Analisi Matematica 2, ZANICHELLI
- S. Salsa, A. Squellati, Modelli dinamici e controllo ottimo, EGEA
- P. Marcellini, C. Sbordone, Esercitazioni di Matematica, 2 volume, parte prima e parte seconda, LIGUORI EDITORE
Orario di ricevimento
- Su appuntamento; si svolge unicamente in modalità telematica
Calendario del Corso
- Potete seguire lo svolgimento complessivo del corso svolto attraverso questo calendario
Programma del Corso
- 1. Funzioni di più variabili - Definizione di derivata parziale, gradiente. Derivate di ordine superiore al primo. Teorema di Schwarz. Definizione di derivata direzionale. Piano tangente. Definizione di funzione differenziabile. C.N. per la differenziabilità (con dimostrazione). C.S. per la differenziabilità. Polinomio di Taylor e resto. Cenni alle funzioni di più variabili a valori vettoriali. Domini e funzioni convesse. Legame fra convessità e derivate del primo ordine (con dimostrazione). Legame fra convessità e derivate del secondo ordine. Definizione di punto di estremo relativo/assoluto. C.N. perché un punto interno regolare sia di estremo relativo. Classificazione dei punti critici: punto di minimo relativo, punto di massimo relativo, punto di sella. Classificazione delle forme quadratiche: f.q. definita positiva, definita negativa, indefinita, semidefinita positiva, semidefinita negativa. C.S. per avere punti estremi relativi: criterio della matrice Hessiana (con dimostrazione). Analisi della matrice Hessiana in ${\mathbb R}^N$. Caratterizzazione della matrice Hessiana per punti di massimo o minimo relativi. Teorema delle funzioni implicite di Dini per $f:{\mathbb R}^2\to{\mathbb R}$, $f:{\mathbb R}^{N+1}\to{\mathbb R}$, $f:{\mathbb R}^3\to{\mathbb R}^2$. Il problema di ricerca di valori estremi vincolati. Metodo dei moltiplicatori di Lagrange: C.N. per avere punti estremi relativi vincolati sia nel caso scalare, sia nel caso vettoriale; Cenno alla C.S. nel caso di vincoli in forma scalare.
- 2. Equazioni e sistemi differenziali ordinari - Equazioni differenziali: in forma normale, lineari; ordine dell'equazione differenziale. Definizione di soluzione. Integrale generale e integrale particolare.
Integrale generale per l'equazione lineare $y'(x) = \varphi(x)y(x) + \psi(x)$.
Integrale generale per l'equazione a variabili separabili $y'(x) = X(x)Y(y(x))$. Integrale generale per l'equazione omogenea $y'(x)=f(y(x)/x)$.
Il problema di Cauchy per sistemi ed equazioni differenziali in forma normale. Teorema di Peano di sola esistenza in piccolo. Teorema di esistenza ed unicità in piccolo. Teorema di esistenza ed unicità
in grande. Teorema di prolungamento. Teorema di regolarità.
Sistemi ed equazioni differenziale lineare di ordine $n$ a coefficienti continui: struttura dell'integrale generale. Teorema di Liouville (con dimostrazione). Metodo della variazione delle costanti arbitrarie (con dimostrazione).
Sistemi ed equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti. Sistemi ed equazioni differenziali lineari di Eulero. Il problema ai limiti completo ed omogeneo.
- 3. Serie di Fourier - Serie di Fourier in forma trigonometrica associata a una funzione $f$ periodica di periodo $2\pi$ di energia finita
$$f(x) \approx \frac{a_o}2 + \sum_{n=1}^\infty a_n \cos(nx)+b_n \sin(nx)$$
e calcolo dei coefficienti della serie di Fourier; il caso di $f$ pari e $f$ dispari. Serie di Fourier in forma esponenziale associata a una funzione $f$ periodica di periodo $2\pi$ di energia finita
$$f(x) \approx \sum_{n=-\infty}^\infty c_n e^{inx}$$
e calcolo dei relativi coefficienti.
Il caso di $f$ periodica di periodo $T\not=2\pi$: espressione della corrispondente serie di Fourier. Convergenza puntuale della serie di Fourier: i due teoremi fondamentali. Errore quadratico medio. Convergenza nel senso dell'energia, uguaglianza di Parseval. Fenomeno di Gibbs e C.S. per la convergenza uniforme della serie di Fourier alla funzione. Legame fra regolarità della funzione ed andamento dei coefficienti.
- 4. Trasformata di Fourier - Definizione della trasformata di Fourier per funzioni in $L^2(\mathbb R)$. Proprietà fondamentali, dualità tra comportamento in tempo e in frequenza. Esempi di calcolo. Identità di Plancherel. Il teorema di inversione.
- 5. Calcolo delle Variazioni - Definizione di funzionale ed esempi. Analisi dei funzionali e classe di funzioni ammissibili. Definizione di distanza tra due funzioni e di intorno di una linea $y$ di ampiezza $r$. Definizione di massimo/minimo assoluto e massimo/minimo relativo. Linee estremanti. Variazione prima e condizione necessaria di estremalità. L'equazione di Eulero-Lagrange e l'associato problema ai limiti per il funzionale
\[
\Phi(y)=\int_a^b F(x,y,y')dx.
\]C.S. perché un estremale sia estremante. C.S. perché un estremale sia un estremante debole. Caso dei funzionali dipendenti da più variabili dipendenti. Caso dei funzionali di ordine superiore. Caso dei massimi e minimi vincolati.
Informazioni
- Gli appelli dell'intero anno accademico 2020-2021 si svolgeranno online. Lo scritto sarà svolto in modalità remota attraverso l'utilizzo della piattaforma zoom, consisterà di 5 esercizi sull'intero programma del corso e avrà la durata di tre ore. Non è previsto l'uso di SEB. Non è consentito l'utilizzo di testi, calcolatrici tascabili, appunti, o altro materiale, a parte la tabella degli integrali particolari per le equazioni differenziali, fornita a lezione.
Al termine dello scritto, gli studenti dovranno scansionare il proprio elaborato, avendo cura che sia leggibile e numerando le pagine, ed inviarlo quindi all'indirizzo email ugogia04@unipv.it.
Chiunque intenda sostenere l'esame, deve iscriversi all'appello secondo le usuali modalità. Le indicazioni per l'accesso al Meeting su zoom relativo allo scritto saranno trasmesse a tutti gli iscritti, dopo la chiusura delle iscrizioni. Il ritiro, durante lo scritto di una qualunque prova d'esame, equivale al non superamento dell'esame stesso.
L'esame scritto si intende superato se lo studente consegue una votazione di almeno 18/30. Se lo studente è soddisfatto della valutazione ottenuta con lo scritto, l'esame è concluso e la valutazione sarà registrata. Qualora, invece, lo studente che ha ottenuto un voto sufficiente nello scritto, intenda migliorarlo, può sostenere l'orale, sempre in modalità online. L'orale consisterà nella discussione degli enunciati dei teoremi presentati a lezione, di alcune delle poche dimostrazioni fatte, di esempi e controesempi. Raccomando a chi intende sostenere l'orale di arrivare opportunamente preparata/preparato.
Appunti relativi ad alcuni argomenti del corso
Calendario delle prove d'esame
- 5 febbraio 2021, 9.00, esame online
- 3 marzo 2021, 9.00, esame online
- 23 giugno 2021, orario da definire, esame online
- 12 luglio 2021, orario da definire, esame online
- 2 settembre 2021, orario da definire, esame online
- 16 settembre 2021, orario da definire, esame online
Temi d'esame
- Appello del 26 novembre 2010 pdf.
- Appello del 25 gennaio 2011 pdf.
- Appello del 9 febbraio 2011 pdf.
- Appello del 7 aprile 2011 pdf.
- Appello del 28 giugno 2011 pdf e testo della soluzione pdf.
- Appello del 5 settembre 2011 pdf e testo della soluzione pdf.
- Appello del 18 novembre 2011 pdf.
- Appello del 27 gennaio 2012 pdf e testo della soluzione pdf.
- Appello del 7 febbraio 2012 pdf e testo della soluzione pdf.
- Appello straordinario dell'8 marzo 2012 pdf.
- Appello del 15 giugno 2012 pdf e testo della soluzione pdf.
- Appello del 13 settembre 2012 pdf e testo della soluzione pdf.
- Appello del 25 gennaio 2013 pdf e testo della soluzione pdf.
- Appello del 5 febbraio 2013 pdf e testo della soluzione pdf.
- Appello del 14 giugno 2013 pdf e testo della soluzione pdf.
- Appello del 4 settembre 2013 pdf e testo della soluzione pdf.
- Simulazione di appello del 9 gennaio 2014 pdf.
- Appello del 28 gennaio 2014 pdf e testo della soluzione pdf.
- Appello dell'11 febbraio 2014 pdf e testo della soluzione pdf.
- Appello straordinario del 28 marzo 2014 pdf.
- Appello del 18 giugno 2014 pdf.
- Appello del 3 settembre 2014 pdf.
- Appello del 17 settembre 2014 pdf.
- Appello del 23 novembre 2018 pdf.
- Appello del 1 febbraio 2019 pdf e testo della soluzione pdf.
- Appello del 22 febbraio 2019 pdf e testo della soluzione pdf.
- Appello del 22 marzo 2019 pdf e testo della soluzione pdf.
- Appello del 28 giugno 2019 pdf e testo della soluzione pdf.
- Appello del 19 luglio 2019 pdf e testo della soluzione pdf.
- Appello del 13 settembre 2019 pdf e testo della soluzione pdf.
- Appello del 27 settembre 2019 pdf e testo della soluzione pdf.
- Gli appelli dell'anno accademico 2019-2020 si trovano qui
- Appello del 12 novembre 2020 pdf e testo della soluzione pdf.
- Appello del 5 febbraio 2021 pdf e testo della soluzione pdf.
- Appello del 3 marzo 2021 pdf e testo della soluzione pdf.
- Appello del 19 marzo 2021 pdf e testo della soluzione pdf.
- Appello del 23 giugno 2021 pdf e testo della soluzione pdf.
- Appello del 12 luglio 2021 pdf e testo della soluzione pdf.
- Appello del 2 settembre 2021 pdf e testo della soluzione pdf.
- Appello del 16 settembre 2021 pdf e testo della soluzione pdf.
Alcuni esercizi
- Esercizi sul Teorema di Dini pdf;
- Esercizi sul Metodo dei Moltiplicatori di Lagrange pdf;
- Esercizi su Equazioni Differenziali del Primo Ordine pdf;
- Esercizi su Sistemi Differenziali Lineari a Coefficienti Costanti pdf;
- Esercizi su Equazioni Differenziali Lineari a Coefficienti Costanti pdf;
- Esercizi sulle Serie di Fourier: Convergenza nel senso dell'energia ed identità di Parseval pdf;
- Esercizi sulla Serie di Fourier: Convergenza puntuale (trascurare l'esercizio 3 e la nozione di convergenza uniforme) pdf.
Altro materiale
- Tabella degli integrali particolari per le equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti pdf.
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